Détermination de l'altitude des montagnes par la méthode géodésique

Pour déterminer l'altitude d'une montagne, ou plutôt la différence de hauteur entre le sommet H de la montagne et un point A de la plaine, une première idée pourrait être de mesurer la hauteur angulaire α_v du sommet depuis le point A. La hauteur HH' est donnée par : HH' = tan(α_v) x AH' ou HH' = sin(α_v) x AH. Les distances AH' et AH ne sont cependant pas connues ! La distance AH' n'est jamais mesurable directement et AH est une distance souvent trop grande pour être mesurée par les appareils courants.

Figure 1. Visée du sommet depuis un point A de la plaine

Pour contourner la difficulté et déterminer la distance AH, l'idée est de mesurer des angles et une autre distance accessible, puis d'en déduire la première par un calcul de trigonométrie.

Soit un triangle quelconque ABC, posons que le côté c et les deux angles α et β qui le bordent sont connus.

D'après la loi des sinus : a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ). Or γ = π- (α+β), et donc, sin(γ) = sin(α+β).

Les côtés a et b peuvent donc s'exprimer à partir de c, α et β :

En conclusion, si l'on connaît un côté du triangle et deux angles, tous les côtés peuvent être déterminés. Il s'agit donc de mesurer la hauteur angulaire du sommet H depuis deux points différents de la plaine A et B, ainsi que leur éloignement AB. A et B sont à la même altitude et sont choisis de telle sorte qu'ils sont alignés avec le sommet H.

Figure 2. Visée du sommet depuis deux points, A et B, de la plaine

Les formules de trigonométrie appliquées au triangle ABH permettent de calculer AH (attention, l'angle β des formules générales correspond ici à π-β_v) :

HH' s'en déduit alors aisément : .HH' = sin(α_v.AH)

La méthode est simple et élégante. Même si A et B ne sont pas à la même altitude, le calcul de HH' peut être effectué par une méthode similaire. Mais sur le terrain, il est contraignant de trouver deux points de mesure visibles entre eux et alignés avec le sommet à viser.

Une autre méthode s'impose. Il s'agit toujours de viser le sommet H de la montagne depuis deux points différents A et B de la plaine dont l'éloignement AB est connu, mais cette fois les points A et B ne sont pas alignés avec le sommet. Deux séries de mesures successives sont nécessaires : la première dans le plan horizontal de la station A et la deuxième dans le plan vertical passant par la station A et le sommet H.

Les visées dans le plan horizontal permettent de calculer la distance horizontale AH' (figure ci-dessous) :

Figure 3. Visée du sommet dans le plan horizontal de la station A

C'est le point H' qui est le troisième terme du triangle et non H.

Puisque AH' a été déterminée, HH' peut être calculée en faisant la visée du sommet dans le plan vertical (Figure 1) : HH' = tan(α_v) x AH'. Cette méthode est plus souple que la précédente puisque les points A et B peuvent être choisis plus librement en fonction des contraintes du terrain. Elle nécessite la mesure d'une distance (AB), de deux angles horizontaux (αh et βh) et d'un angle vertical (αv). Mais rien n'empêche de faire avec le point B ce qui a été fait avec le point A. Donc en mesurant en plus βv, on peut avoir également une deuxième détermination de la hauteur du sommet H par rapport au point B.

La Terre n'est pas plate ! Lorsque l'on détermine la hauteur d'une montagne par rapport à un plan horizontal passant par la station de visée, on effectue une erreur.

Figure 4. L'effet de la sphéricité de la Terre

O designe le centre de la Terre, supposée sphérique.

La triangulation donne accès à la hauteur H'H mais le point H' n'est pas à la même altitude que le point A. Pour pouvoir déterminer la différence de hauteur entre H et A, il faut connaître DH. La correction due à la sphéricité de la Terre est donc C_s = DH'. Elle est positive. Comme les distances impliquées dans la triangulation géodésique sont petites par rapport au rayon de la Terre (R_T), on peut toujours supposer que le triangle AH'H est rectangle en H'. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OAH', rectangle en A, donc d'hypothénuse OH', on a :

Comme DH'² est négligeable devant les autres termes, on a finalement :

La correction de sphéricité augmente avec le carré de la distance entre les deux points de visée.

Quelques exemples, avec R_T = 6370 km :

Lors de la visée du sommet, le rayon lumineux ne suit pas une ligne droite mais une ligne courbe (figure ci-dessous). La courbure de la trajectoire n'est jamais identique, elle varie non seulement tous les jours mais à toutes les heures de la journée. La position apparente H'' du sommet que l'on vise change donc à chaque instant suivant l'état de l'atmosphère. Ces phénomènes proviennent de la réfraction atmosphérique et doivent être corrigés. Disons-le d'emblée, ces corrections sont très imparfaites et ce sont elles qui limitent la précision des visées géodésiques.

Figure 5. L'effet de la réfraction atmosphérique

Le rayon lumineux (en vert) est courbe   sa tangente au point A est dirigée vers H'', image du sommet H de la montagne. L'angle de réfraction est appelé ρ.

Les observations géodésiques montrent que l'angle de réfraction ρ présente un certain nombre de caractéristiques. Il est maximum la nuit, décroît au lever du jour, atteint un minimum vers 10h solaire (en été), reste plus au moins constant jusqu'à 15h solaire, et recroît ensuite. La valeur de l'angle minimum est assez régulière en été : elle se reproduit à peu près identique à elle-même les jours ou les conditions météorologiques sont semblables. On constate également que l'angle de réfraction ρ observé pendant le temps du minimum de réfraction est sensiblement proportionnel à la longueur du côté mesuré divisée par le rayon de la Terre :

Pour estimer la correction C_r = HH'', on peut calculer la distance verticale résultant de l'angle ρ lorsque l'on est placé en H'.

Figure 6. Calcul de la correction due à la réfraction atmosphérique

Comme ρ est petit, on a :

En comparant avec la correction de sphéricité, on obtient : C_r = 2.K.C_s , soit Cr ≈ Cs / 8.

La correction due à la réfraction est environ huit fois plus petite que celle due à la sphéricité. Mais leurs signes sont opposés. La réfraction relève les objets et, du coup, ils apparaissent plus grands qu'ils ne le sont en réalité. La valeur de cette correction n'est qu'une estimation. Elle s'approche le plus de la réalité les jours d'été lorsque la visée a été effectuée entre 10h et 15h solaire.

Dans le tableau ci-dessous, nous cherchons quelle est la conséquence sur la précision des résultats de cette erreur dans les angles de 0,006° (nous supposons que cette erreur est la même pour les angles horizontaux et verticaux). Nous regardons également quel est l'effet d'une petite erreur (de l'ordre de la dizaine de cm) dans la mesure de la base de départ (cette erreur peut par exemple provenir de la difficulté de tenir le prisme parfaitement à la verticale).

Nous voyons que, sans tenir compte de la réfraction, nos mesures donnent une valeur de l'altitude de Saint Laurent au mètre près (somme des variations h(St L)).

La variation de la base F1L de +6 m correspond à la valeur obtenue précédemment. Sans tenir compte de la réfraction, notre mesure donne une valeur de l'altitude du Môle à 3 mètres près.

Il est difficile de quantifier les erreurs sur la correction de la réfraction atmosphérique. La valeur de C_r ≈ C_s/8 n'est valable que les jours d'été lorsque la visée est effectuée entre 10h et 15h solaire, ce qui est tout sauf notre cas ! Il est peu probable que notre prise en compte de la réfraction soit juste...